TI Politala Matdis 1D

Definisi Fungsi

Fungsi merupakan suatu relasi khusus yang memiliki suatu aturan tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak masalah yang dapat diselesaikan dengan fungsi. Misalnya, fungsi dari pencampuran bahan-bahan untuk membangun gedung, jembatan, jalan, fungsi penawaran, fungsi permintaan, fungsi pemecah kode rahasia, dan masih banyak lagi.

Fungsi dan Sifat-Sifatnya

Misalkan himpunan A = {a, b, c} dan B = {p, q,r, s}. f menyatakan fungsi dari A ke B dengan aturan seperti diagram panah di samping. Daerah asal atau domain dari f adalah A = {a, b, c}. Daerah kawan atau kodomain dari f adalah B = {–3, 0, 3}. Daerah hasil atau range dari f adalah {p, q,r, s}. Fungsi atau pemetaan merupakan relasi khusus. Tidak semua relasi merupakan fungsi. Definisi fungsi atau pemetaan diberikan sebagai berikut.relasi merupakan fungsi. Definisi fungsi atau pemetaan diberikan sebagai berikut.

 

Jenis-Jenis Fungsi

1.      Fungsi Injektif

Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut dengan fungsi injektif. Fungsi injektif disebut juga dengan fungsi satu satu                                      

Fungsi f : A A B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 D A dan a1 & a2 maka berlaku f(a1) & f(a2).

 2.    Fungsi Surjektif Suatu fungsi dengan daerah hasil sama kodomainnya disebut dengan fungsi surjektif atau fungsi onto.

 

Fungsi f : A A B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf  = B.

3.      Fungsi Bijektif

     Misalkan fungsi y = f(x),  dengan X = {1,2,3,4} dan Y = {D,B,C,A} dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(1,D), (2,B), (3,C) (4,A)}. Fungsi f dapat ditunjukkan sebagai diagram panah seperti pada gambar di samping. Pada gambar tersebut tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B. Di samping itu, fungsi f juga fungsi injektif, karena untuk setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda. Fungsi yang surjektif sekaligus injektif seperti ini disebut fungsi bijektif. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan

dalam definisi berikut.

Operasi aljabar yang sudah kita kenal dalam operasi bilangan real adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar tersebut dapat diterapkan dalam fungsi. Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, sedangkan Df E Dg & q maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut.

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)

Diketahui f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 2(x – 1). Tentukan a. (f + g)(x); b. (f – g)(x); c. (f × g)(x); Jawab: Diketahui bahwa f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 2(x – 1) ‹ g(x) = 2x – 2.       a.       (f + g)(x)=f(x) + g(x) = (3 x + 4) + (2x – 2)  =5 x +2       b.      (f – g)(x)=f(x) – g(x) = (3 x + 4) – (2x – 2)  =3 x + 4 – 2x + 2 = x + 6       c.       (f × g)(x)= f(x) × g(x) = (3 x + 4) × (2x – 2) =3 x(2x) + 3x(–2) + 4(2x)+ 4(–2)

 Invers Suatu Fungsi

Untuk memahami invers suatu invers, perhatikan uraian berikut ini. Misalkan f = {(1,D), (2,B), (3,C), (4,A)}. Fungsi balikan dengan anggota-anggotanya, disebut invers fungsi f. Fungsi ini biasanya dinotasikan dengan f–1. Dengan demikian, invers fungsi f di atas adalah f–1 = {(D,1), (B,2), (C,3), (A,4)}. Diagram panah untuk fungsi f dan f–1 tampak seperti

Pengertian Invers

Suatu Fungsi Balikan fungsi (invers) dari fungsi f: A A B adalah f–1 : B A A. Fungsi f memetakan anggota himpunan A ke himpunan B yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan {(x, y) | x D A, y D B}, sedangkan fungsi f–1 memetakan anggota himpunan B ke himpunan A yang dinyatakan dengan{(y, x) | y D B, x D A}. Secara umum, definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut.

Jika fungsi f : A A B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = {(x, y) | x D A, y D B} maka invers dari fungsi f adalah f–1 : B  A  A yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f–1 = {(y, x) | y D B, x D A}.

KESIMPULAN

 1. Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi (hubungan) dari himpunan A ke himpunan B dengan memasangkan setiap x D A dengan tepat satu y D B.

2. Fungsi mempunyai sifat surjektif (fungsi onto/pada), injektif (fungsi satu-satu) dan atau bijektif (fungsi satu-satu dan pada).

3. Operasi aljabar pada fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut.

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

b. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

c. (f × g)(x) = f(x) × g(x)

4. Komposisi fungsi g0f adalah suatu fungsi yang mengerjakan (mametakan) fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.

Daftar Pustaka

Ayres, Frank. 1974. Theory and Problems of Matrics. New York: McGraw-Hill. ____. 1998. Terjemahan Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

 Bartle, Robert G. 1994. Introduction to Real Analysis. New York: John Willey and Sons. Howard, R.D. 1993. Mathematics in Actions. London:

 Nelson Blackie, Ltd. Isabelle van Welleghem. 2007. Ensiklopedia Pengetahuan. Solo: Tiga Serangkai. Junaedi, Dedi, dkk. 1998.

 Intisari Matematika Dasar SMU. Bandung: Pustaka Setia. Kerami, Djati dkk. 2002. Kamus Matematika. Jakarta: Balai